Fama-French五因子模型實作-附程式碼(Five-factor asset pricing model construction process)

2021/08/15

五因子模型(Fama-French five-factor asset pricing model)
因子計算介紹
五因子模型估計過程
- 讀取資料
- 計算因子
因子相關係數
估計結果
參考連結

五因子模型(Fama-French five-factor asset pricing model)

因子模型在財務金融世界中算相當熱門的議題，許多人都希望找出能解釋報酬率的因子，想探詢股價報酬率究竟受到甚麼變數影響? 而Fama-French因子模型最廣為使用，其知名度和引用數量之高很值得好好學習。

今天介紹的五因子由最起初的單因子模型開始演進，單因子模型也就是大家耳熟能詳的資本資產訂價模型(Capital Asset Pricing Model, CAPM) ，利用市場報酬率解釋了股票報酬率，接著加上Fama and French(1993)又提出市值和淨價市值比兩項因子，2015年兩位大師再提出了兩項因子，獲利能力和投資水平，共為以下五個因子(後來還有動能因子的加入，本篇僅提到五因子)

市場報酬率(Market Return)
市值(Small Minus Big, SMB)
帳面市值比(High Minus Low, HML)
獲利能力(Robust Minus Weak, RMW)
投資水平(Conservative Minus Aggressive, CMA)

這些因子彼此間關聯性低，對於股票報酬率的解釋能力強，也因此在財務金融界一直享有盛名。

本篇文章將透過Python實作實作財務金融界著名的Fama-French因子模型，以臺灣上市公司股票作為樣本，資料期間為2012至2020年，資料為月頻率，共計108個月。

因子計算介紹

市場報酬率(Market Return) / 頻率:月

用大盤指數作為市場報酬率計算代表，以臺灣為例即為發行量加權股價指數，而本篇使用了包含股利在裏頭，不受除權息影響的發行量加權股價報酬指數，雖說是市場報酬率，但其實需要的是高於無風險利率(Risk-free rate)的部份，也因此在計算時都會將市場報酬再扣掉無風險利率。

市值因子(Market Value) / 頻率:月

參考的變數為公司市值，而區分公司屬於大型或小型的方式經蒐集資訊後發現有兩種，首先將公司依市值排序，兩種分類方法分別為

小於中位數者歸類為小公司，高於則歸類為大公司
市值為整體10%以下為小公司，90%以上為大公司

而在French的網站中表示新興市場的計算方式適用於第2種，因此本篇也使用第2種。

淨價市值比(Book-to-Market) / 頻率:年

參考的變數為淨價市值比(B/M) ，透過帳面股東權益(Equity)除於市值(Market Value)，得到淨價市值比，接著再排序並以30%, 40%, 30%區分為成長(low/growth)、中(medium/netural)、大(high/Value)三種，接下來的獲利能力和投資因子也是以同樣門檻進行區分。

獲利能力(operating profitability) / 頻率:年

參考變數為營業利益除以股東權益，也有看到有人使用營業利益率解釋，本篇先以French所寫的計算方法為主(詳見文末參考連結)，也就是從營業收入(Revenue)減去銷貨成本(Cost of goods sold)後再減去費用、利息支出…等後除以股東權益，並如同淨價市值比的拆分方法由低到高依序區分為貧弱(weak)、中等(Netural)、穩健(Robust)。

投資因子(Investment) / 頻率:年

參考變數為總資產(asset)的成長率，假設今年為2021年，則參考股票於2019會計年度結束至2020會計年度間總資產變化，並除於2019年底總資產，作為投資因子的指標，意即前一年總資產成長率。

透過各個因子的變數，可以將股票分類3x2的矩陣，各因子都是以市值搭配其他三個變數，B/M、Operating Profitability、Investment，而矩陣中的英文代表符合分類條件的股票平均報酬率。

舉例來說，最左上角的SL即為當期市值低於整體10%以下且淨價市值比位於整體30%以下的公司股票之平均報酬率，以此類推。

而SMB市值因子的計算先將市值搭配各類因子的結果計算出來，並觀察小公司和大公司間差的平均，再計算整體的平均，公式如下

$$ SMB_{bm}=\frac{(SL+SM+SH)-(BL+BM+BH)}{3} $$

$$ SMB_{op}=\frac{(SW+SN+SR)-(BW+BN+BR)}{3} $$

$$ SMB_{inv}=\frac{(SC+SN+SA)-(BC+BN+BA)}{3} $$

$$ SMB=\frac{SMB_{bm}+SMB_{op}+SMB_{inv}}{3} $$

另外HML、RMW、CMA的計算則簡單許多，也能從字面立刻理解

$$ HML=\frac{(SH+BH)-(SL+BL)}{2} $$

$$ RMW=\frac{(SR+BR)-(SW+BW)}{2} $$

$$ CMA=\frac{(SC+BC)-(SA+BA)}{2} $$

以上即為各個因子的數值的計算公式。

五因子模型估計過程

讀取資料

首先先將資料讀取進來，總共有四個檔案，分別為公司特徵(factor)、公司市值(market_value.csv)、股票月報酬率(ret.csv)、市場報酬率加無風險利率(rm_rf.csv)。

並且將市值及報酬率的欄位資料類型改為int，方便等等呼叫

import pandas as pd

factor_df = pd.read_csv('factors.csv')
market_value = pd.read_csv(
    'market_value.csv', index_col='date', parse_dates=['date']
)
ret_df = pd.read_csv('ret.csv', index_col='date', parse_dates=['date'])
rm_rf = pd.read_csv('rm_rf.csv', index_col='date', parse_dates=['date'])

market_value.columns = market_value.columns.astype(int)
ret_df.columns = ret_df.columns.astype(int)

接著來看看各檔案中的欄位， factor_df中的欄位有年份(year)、股票代號(symbol)、淨價市值比(book_to_market)、獲利能力(profitability)、投資(investment)，資料頻率為年

下方圖中book_to_market、profitability和investment即為前一節所介紹各個因子所使用的變數

再來看到 market_value和 ret_df欄位即為為各檔股票代號

最後的 rm_rf 則是臺灣銀行當期一個月期的無風險利率(rf)和報酬指數報酬率(rm)。

計算因子

我們先嘗試著計算一期的各項數據，接著再用迴圈計算整個資料期間(以下程式碼為了好理解，重複的部份會比較多，寫法hard coded)

先把各個月份包在一個list中，我們先嘗試計算第一個月份，2012的1月

year_month_list = list(ret_df.index)
current_ym = year_month_list[0]
current_month = current_ym
correspond_year = current_ym.year — 1

我們接著來篩選符合條件的股票代號，從 market_value 中，先篩選出目前計算的月份。

再用市值排序，選出小公司和大公司的股票代號，命名為 small 和 big

sorted_mv_symbols = market_value.loc[
    current_ym
].sort_values().dropna().index

small_threshold = int(len(sorted_mv_symbols)*0.1)
big_threshold = int(len(sorted_mv_symbols)*0.9)

small = sorted_mv_symbols[0:small_threshold]
big = sorted_mv_symbols[big_threshold:]

區分出大小公司後，接著利用前一年的資料(2011)的公司特徵進行分類，分別依照前一節介紹的門檻，排序後得出

book-to-market 區分為 low 、 mid 、 high

profitability 區分為 weak 、 neutral_pr 、 robust

investment 區分為 conservative 、 neutral_inv 、 aggressive

# book-to-market
sorted_by_bm_symbols = list(factor_df[
    factor_df['year'] == correspond_year
].sort_values('book_to_market')['symbol'])

total_len = len(sorted_by_bm_symbols)
threshold1, threshold2 = (int(total_len*0.3), int(total_len*0.7))

low = sorted_by_bm_symbols[0:threshold1]
mid = sorted_by_bm_symbols[threshold1:threshold2]
high = sorted_by_bm_symbols[threshold2:]


# profitability
sorted_by_op_symbols = list(factor_df[
    factor_df['year'] == correspond_year
].sort_values('profitability')['symbol'])

total_len = len(sorted_by_op_symbols)
threshold1, threshold2 = (int(total_len*0.3), int(total_len*0.7))

weak = sorted_by_op_symbols[0:threshold1]
neutral_pr = sorted_by_op_symbols[threshold1:threshold2]
robust = sorted_by_op_symbols[threshold2:]


# investing
sorted_by_inv_symbols = list(factor_df[
    factor_df['year'] == correspond_year
].sort_values('investment')['symbol'])

total_len = len(sorted_by_inv_symbols)
threshold1, threshold2 = (int(total_len*0.3), int(total_len*0.7))

conservative = sorted_by_inv_symbols[0:threshold1]
neutral_inv = sorted_by_inv_symbols[threshold1:threshold2]
aggressive = sorted_by_inv_symbols[threshold2:]

接著把各個篩選結果的股票代號裝在 factor_result 這個 dict 中

factors_result = {
    'low': low, 
    'mid': mid, 
    'high': high,
    'weak': weak, 
    'neutral_pr': neutral_pr, 
    'robust': robust,
    'conservative': conservative, 
    'neutral_inv': neutral_inv,
    'aggressive': aggressive,
}

然後取出符合條件的市值和因子的股票代號，取交集後計算這些股票當月的平均報酬率，接著存在 factors_ret 中。

factors_ret = {}
for level in factors_result.keys():

    s_qualified_symbol = set(small) & set(factors_result[level])
    ret = ret_df[s_qualified_symbol].loc[current_month].mean()
    factors_ret[('small', level)] = ret

    b_qualified_symbol = set(big) & set(factors_result[level])
    ret = ret_df[b_qualified_symbol].loc[current_month].mean()
    factors_ret[('big', level)] = ret

執行到這，factors_ret 裡頭會是這樣，裝載著前一節3x2的矩陣中各個條件下的股票平均報酬率。

接著再用上一節的計算公式，利用 factors_ret 中的各個報酬率計算因子，以及用市場報酬率減無風險利率得出 Rm_Rf 。

small_ret = 0
big_ret = 0
for ret in factors_ret.keys():
    if ret[0] == 'small':
        small_ret += factors_ret[ret]

    if ret[0] == 'big':
        big_ret += factors_ret[ret]

SMB = (small_ret — big_ret) / 9


low_ret = 0
high_ret = 0
for ret in factors_ret.keys():
    if ret[1] == 'low':
        low_ret += factors_ret[ret]
    if ret[1] == 'high':
        high_ret += factors_ret[ret]

HML = (high_ret — low_ret) / 9


weak_ret = 0
robust_ret = 0
for ret in factors_ret.keys():
    if ret[1] == 'weak':
        weak_ret += factors_ret[ret]
    if ret[1] == 'robust':
        robust_ret += factors_ret[ret]

RMW = (robust_ret — weak_ret) / 9


aggr_ret = 0
cons_ret = 0
for ret in factors_ret.keys():
    if ret[1] == 'aggressive':
        aggr_ret += factors_ret[ret]
    if ret[1] == 'conservative':
        cons_ret += factors_ret[ret]

CMA = (cons_ret — aggr_ret) / 9


rmrf_data = rm_rf.loc[current_month]
Rm_Rf = rmrf_data.rm — rmrf_data.rf

執行到這後，將可以計算出2012年1月各個公司特徵因子的數值。